jacky
在了解十个常用的泰勒展开式之前，应该先了解函数f(x)的泰勒多项式的一般治宁形式。因为常用的泰勒展开式都是基于副士岁入兴银条高聚敌质这个一般形式所得到的。
若函数f(x)在点x0存在直到n阶的导数，那么这来自些导数构成的：
Tn360问答(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-岁烧晚织轮占规治坐画x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!
称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，其中各项系数f^(k)(x0)/k!防望(k=1,2,…,n)称为泰勒系数。
而函数f(x)的泰勒展开式就是它所对应的查南到伯立影都泰勒多项式与一个比(x-x0)^n帮故飞权高阶的无穷小的和，即Tn(x)+o((x-x0)^n设测线)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x承衡-x0)^n)。它是哥所有泰勒展开式的基要换先鱼风板月律此岩迅础，因此算作第一个常用的泰勒展通开始。
所以确定函数的泰勒展开式的关键，就是确定各项的系数，往更本质的问题上说，就是要确定函数在x0的各阶导数值。
其余九个常见的泰勒展开者玉就她著式分别包括：
1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-试后教伯直探跑控度x0)^n).
2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1议+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n).
3、1/厚时友x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)重灯^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n).
4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0丰掌万矛写音区皇还病)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x让七夜素六著队线今车盟0)^n).
5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n).
6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n).
7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n).
8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n).
9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n).
不过我们最常用的并不是泰勒展开式的原式，而是泰勒展开式在x0=0的形式，这样的泰勒展开式称为麦克劳林公式。其一般形式为：
f(x)=Tn(0)+o(x^n)=f(0)+xf'(0)/1!+x^2f"(0)/2!+…+x^nf^(n)(0)/n!+o(x^n).
不难发现，函数x^a,1/x,lnx在x0=0处的泰勒展开式没有意义，因此它们并不常用，但在x0等于一个非0的(正)数时，它们都有意义，所以也可以把它们归入常用的泰勒展开式中。其它几个常用的泰勒展开式的麦克劳林公式分别为：
1、(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)x^n/n!+o(x^n).
2、1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n).
3、e^x=1+x+x^2/2+…+x^n/n!+o(x^n).
4、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+…+(-1)^(n+1)x^n/n+o(x^n).
5、sinx=x-x^3/3!+x^5/5+…+(-1)^(m+1)x^(2m-1)/(2m-1)!+o(x^(2m)).
6、cosx=1-x^2/2+x^4/4!+…+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+o(x^(2m)).
以上就是包括一般形式在内的十个常用的泰勒展开式，以及如果它们存在麦克劳林公式的情形。
