jacky
不用二重积分的，可以有简单的办法的。
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√瞎罩迟2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差击次车北制今是t^2，百度不太好打公式，磨来自李你将就看一下。
于是：
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。闷备。。。。。（*）
积分区域是从负无穷到360问答正无穷，下面出现的积分科买犯编适可圆盾重季也都是这个区域，所以略去不写了。
（1）求均值
对（*）式两边对u求导：
温职染续活钱任内间∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2和什状检团甲而律迫(u-x)/2(t^2)]dx=0
约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[蒸优致1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx并误尔=0
把(u-x)拆开，再移红哪握酸师庆音密胞项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√步货父顺铁这银校坐油2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。
(2)方差
过程和位皇十宣求均值是差不多的，我就助左稍微略写一点了。
对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2察药益试笔识背令频/2(t^2)]dx=√2π
移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。
