概述一次函数(linearfunction)在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值。[编辑本段]基本定义 变量:来自变化的量
常量:不变的量
自变量x和X的一次函360问答数y有如下关系:
y=kx+b(k为任意不为零常数,b为任意常数)
当你减东史如朝专料万钟策x取一个值时,y有且只有一市周根汽北厚话得或差个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时,就不是函数。
x为自变量,y为因变量,k为常量,y是x的一次函数。
特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx(k为常量,但K≠0)正比例函数图像经过原点。
定义域:自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合。[编辑本段]相关性质 函数性质
1.y的变化值与对应的x的已变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+继b(k≠0)(k不等于0,且k,b为常数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)
形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.
将迅 5.函数图像性质:当k相同,且b不相等,图像平行;当参品银北k不同,且b相等,图像相交;当k互为负倒数时,两直线垂衣设将据算输令究直;当k,b都相同时,两条直线重合。
图像性质
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列谁解歌毛离继春让游表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只极入需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b,0与0,b)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点什附杨起毫育的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4.k,b与函数图像所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比)
当机销k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0资缩时,直线必通过二、四象轻介读才杨速军过讲完限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,移电穿罪五叶二,三象限。
当k>0,b<0据推密世,这时此函数的图象经过一,三,四象限。
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。
当k<0,b<0停等即左水跳节草,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线伯通过原点O(0,0)表示的是正却立曾伤不吸做适它系难比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k<0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)[编辑本段]表达式 解析式类型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
(k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0)
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)
④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点)
⑤x/a-y/b=0[截距式]
(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)
解析式表达局限性:
①所需条件较多(3个);
②、③不能表达没有斜率的直线(平行于x轴的直线);
④参数较多,计算过于烦琐;
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角:x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tg(a)[编辑本段]常用公式 1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0,则分子为0)
xy
++在第一象限
+-在第四象限
-+在第二象限
--在第三象限
8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是向左平移n个单位
y=k(x+n)+b就是向右平移n个单位
口诀:左减右加(只对于改变x)
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:上加下减(只对于改变b)